آموزش کنترل مقاوم با نرم افزار متلب– محاسبه نرم بی نهایت از طریق رسم دیاگرام بودی

آموزش کنترل مقاوم با نرم افزار متلب– محاسبه نرم بی نهایت از طریق رسم دیاگرام بودی

برای اینکه نرم بی نهایت سیستمی محدود باشد بایستی سیستم پایدار، سره (یا اکیدا سره) بوده و هیچ قطبی روی محور موهومی نداشته باشد. بنابراین می توان نرم بی نهایت را از رابطه زیر محاسبه نمود:

در حقیقت نرم بی نهایت برابر با مقدار بیشینه اندازه پاسخ فرکانسی است. یکی از روشهای بدست آوردن نرم بی نهایت تابع تبدیل استفاده از ترسیم دیاگرام بودی می باشد. به این نحوکه نرم بی نهایت سیستم برابر با ماکزیمم دامنه دیاگرام بودی خواهد بود. برای درک بهتر مسئله فرض کنید که می خواهیم نرم بی نهایت تابع تبدیل زیر را از روش رسم دیاگرام بودی محاسبه کنیم

همانطور که مشاهده می شود سیستم پایدار، اکیدا سره و هیچ قطبی روی محور موهومی ندارد پس نرم بی نهایت محدود و وجود دارد. تابع تبدیل فوق دارای سه قطب در s = -1/4 , -2 , -2 و هیچ صفری ندارد. برای ترسیم دیاگرام بودی به صورت دستی در گام اول صفرها و قطب ها را بصورت فرم ثابت زمانی (1+Ts) بازنویسی می کنیم. با توجه به شکل قطب s = -1/4 از قبل به فرم استاندارد می باشد، فقط کافیست که قطب مکرر s=-2 را به فرم ثابت زمانی تبدیل کنیم. داریم:

چون تابع تبدیل اکیدا سره است به وضوح دیده می شود که ماکزیمم دامنه در فرکانس w=0 رخ می دهد. بنابراین

هر چند بدون ترسیم دیاگرام بودی نرم بی نهایت تابع تبدیل را بدست آوردیم اما برای درک بهتر مراحل ترسیم را پیش می گیریم. نکته مهم در ترسیم دیاگرام بودی این است که اگر سیستم نوع صفر باشد (قطبی روی مبدا نداشته باشد) نمودار بودی با شیب 0 db/dec شروع می شود و اگر سیستم نوع یک باشد (یک قطب در مبدا داشته باشد ) نمودار بودی با شیب    20- db/dec شروع می شود و …

تابع تبدیل G از نوع صفر می باشد بنابراین نمودار بودی با شیب 0 db/dec شروع می شود.

در گام دوم فرکانس های گوشه هر یک از عواملی که به فرم ثابت زمانی نوشتیم بدست می آوریم (w=1/T). بنابراین فرکانس های گوشه عبارتند از

w = 1/4 , 2 .

حال به راحتی می توان با توجه به اطلاعات ذکر شده دیاگرام بودی را ترسیم نمود. با نرم افزار متلب و توسط دستور bode می توان ترسیم دقیق تری انجام داد. چون دستور bode نمودار دامنه و فاز را با هم ترسیم می کند، می توانیم به کمک دستور bodemag فقط دامنه را ترسیم کنیم. بدین منظور برنامه زیر را در محیط متلب می نویسیم:

————————————————————————————————————————–

clc

clear

s=tf(\\\\\\\’s\\\\\\\’); % define variable s

G=40/((4*s+1)*(s+2)^2); % Transfer function G

bodemag(G) % plot bode magnitude

——————————————————————————————————————————–

همانطور که مشاهده می کنید ماکزیمم دامنه 20 db می باشد بنابراین داریم: